висловлювань деякiй ДНФ та КНФ.

12

Поняття логiчн. насл. Теор. про еквiвалентнiсть рiзних означень логiчного наслiдку. modus ponens, modus tollens, правило силогiзму, метод резол.

F називається логiчним наслiдком ф-л H1, H2, H3,..., Hn, якщо для довiльної iнтерп. I простих висл., що входять в цю формулу з рiвностей

I(H1) = I(H2) = ... = I(Hn)=1 випливає, що I(F)=1.

Запис: H1, H2,..., Hn |= F

modus ponens: A, A→B|= B

modus tallens: A→B, B |= A

силогiзму: A→B, B→C|= A→C

резолюцiй: X→F, X → G |= F∨G

Теорема. Наступнi твердження є рiвносильними

1. H1, H2,..., Hn |= F;

2. Формула (H1 ∧ H2 ∧ ... ∧ Hk) → F є тавтологiєю;

3. Формула H1 ∧ H2 ∧ ... Hk ∧ F є тотожно хибною;

4. Формула H1 ∨ H2 ...Hn ∨ F є тотожно-iстиною.

Доведення. Для доведення теореми покажемо, що справедливим є такий

ланцюг iмплiкацiй 1. → 2. → 3. → 4. → 1.

1. → 2. Припустимо, що формула F є логiчним наслiдком формул H1, H2,..., Hn.

Покажемо, що формула (H1 ∧ H2 ∧ ... ∧ Hk) → F є тавтологiєю. Припустимо, що це не так. Це означає, що iснує така iнтерпр. I простих висловлювань, якi входять в цю формулу, що I((H1 ∧ H2 ∧ ... ∧ Hk) →

F)=0. Звiдки, використовуючи властивiсть iмплiкацiї i кон’юнкцiї, отримаємо I(H1) = I(H2) = ... = I(Hn)=1 i I(F)=0, що неможливо, оскiльки формула F є логiчним наслiдком формул H1, H2,..., Hn. Отримали суперечнiсть, а отже формула є тавтологiєю.

2. → 3. H1 ∧ H2 ∧ ... Hk ∧ F може набувати значення істина для деякої iнтерпретацiї I тодi i тiльки тодi, коли I(H1) = I(H2) = ... = I(Hn)=1 i I(F)=1, тобто I(F)=0. А це неможливо, оскiльки формула

(H1∧H2∧...∧Hk) → F є тавтологiєю. Отже формула H1∧H2∧... Hk∧F є тотожно хибною.

3. → 4. Якщо формула H1 ∧ H2 ∧ ... Hk ∧ F є тотожно хибною, то для будь-якої iнтерпретацiї I, якщо I(H1) = I(H2) = ... = I(Hn)=1, то I(F)=0. Припустимо, що для деякої iнтерпретацiї I формула (H1 ∨ H2 ∨ ... ∨ Hn ∨ F) набуває значення 0. Це можливо тодi i тiльки тодi, коли I(H1) = I(H2) = ... = I(Hn) = I(F)=0, звiдки I(H1) =I(H2) = ... = I(Hn)=1 i I(F)=0, але оскiльки виконується твердження3., то для цiєї iнтерпретацiї I з того, що I(H1) = I(H2) = ... = I(Hn)=1 повинно випливати I(F)=0. Отримали суперечнiсть. Отже формула H1 ∨ H2 ...Hn ∨ F тотожно iстинна.

4. → 1. Те, що формула H1 ∨ H2 ∨ ... ∨ Hn ∨ F є тотожно істиною означає, що для довiльної iнтерпретацiї I з умови I(H1) = I(H2) = ... = I(Hn)=0 випливає I(F)=1. Тобто, для довiльної iнтерпретацiї I



якщо I(H1) = I(H2) = ... = I(Hn)=1, то I(F)=1. А це, за визначенням логiчного наслiдку, означає, що формула F є логiчним наслiдком ф-лH1, H2,..., Hn.

3. Еквiвалентнi формули, приклади. Теорема про еквiвалентнiсть рiзних означень еквiвалентних формул. Основнi властивостi логiчних операцiй, зокрема закони дистрибутивностi та де Моргано. Принцип двоїстостi в численнi висловлювань.

X i Y називаються еквiвалентними, якщо для будь-якої iнтерпретацiї I має мiсце I(X ) = I(Y).

Теорема Наступнi твердження є рiвносильними.

A). X ~ Y;

Б). таблицi iстинностi формул X , Y збiгаються;

В). формула X↔Y є тавтологiєю.

(X ∧X ) ~X~ (X ∨X ); (X ∧Y) ~ (Y∧X )

дистрибутивнiсть:

((X ∧Y) ∨ Z) ~ ((X∨Z) ∧ (Y∨Z));

((X ∨Y) ∧ Z) ~ ((X∧Z) ∨ (Y∧Z));

закони де Моргана:

(X ∧Y) ~ (X ∨ Y); (X ∨Y) ~ (X ∧ Y).

Принцип двоїстостi числення висловлювань.

Якщо двi еквiвалентнi формули (F G) мiстять лише зв’язки , ∨, ∧, то замiною зв’язок ∨ на ∧ i ∧ на ∨ в обох формулах отримаємо еквiвал. F ~G.

4. Поняття про ДНФ та КНФ. Теорема про еквiвалентнiсть довiльної формули числення

висловлювань деякiй ДНФ та КНФ.

— елементарна кон’юнкцiя

ДНФ — Формула, яка є диз’юнкцiєю елементарних кон’юнкцiй

Теорема Будь-яка формула числення висловлювань еквiвалентна деякiй ДНФ та КНФ.

Доведення. Доведенням теореми буде алгоритм зведення довiльної формули F до ДНФ та КНФ.

Алгоритм:

1. Виключити зв’язки →, ↔ з формули F;

2. Внести зв’язку в дужки так, що пiсля неї мають стояти тiльки простi висловлювання;

3. Застосувавши закони дистрибутивностi, отримати ДНФ (КНФ).

4. Використовуючи першi двi властивостi з 5), а також еквiвалентностi

X ∨ 1 ~ 1, X ∨ 0 ~ X , X ∧ 1 ~ X , X ∧ 0 ~ 0, X ∨ (X∧Y) ~ X , X ∧ (X ∨Y) ~ X . спростити отриманi ДНФ, КНФ.

5. Повнi системи логiчних зв’язок. Повнота однiєї з систем {∧, }, {∨, }, {→, } та неповнота системи {∨, ∧,→, ↔}.

Набiр логiчних зв’язок називається повним, якщо для довiльної формули числення і висловлювань існує еквівалентна їй формула, в записі якої використовуються тільки зв’язки цієї системи.

Теорема 1.1.4.

1. Кожний з наборiв логiчних зв’язок: {, ∧, ∨}, {,→}, {, ∨}, {, ∧} є повним.

2. Набiр {→, ↔, ∨, ∧} не є повним.

Доведення. Нехай в записі F використ. лише зв’язки системи . X=1, a=1, b=1,… èI(F)=1; I( )=0. Припущення неправильне, система неповна.

6. Булевi функцiї. Теорема про зв’язок з формулами числення висловлювань записаних у виглядi ДДНФ та ДКНФ.

Булевий вектор-впорядков. набір нулів та одиниць

Булевою функц. f = f(x1, x2, ..., xn) вiд n змiнних називається закон. або правило, яке ставить у

вiдповiднiсть кожному бул. вектору або 0 або 1.

Теор. Будь-яка формула, яка не є тотожно хибною (тотожно-iстинною), еквiвалентна ДДНФ (ДКНФ).

ДДНФ-1; ДКНФ-0.

7. Предикати, висловлювальнi форми. Операцiї над предикатами. Синтаксис числення предикатiв, поняття iнтерпретацiї формул числення предикатiв. Тотожно iстиннi, тотожно хибнi, виконливi формули числення предикатiв.

Висловлювальна форма - це твердження, в якому пропущенi певнi слова; пiсля заповнення порожнiх мiсць назвами елементiв з певної множини D висловлювальна форма стає висловлюванням.

Функцiя, яка ставить у вiдповiднiсть кожному набору (d1, d2,...,dn), di ∈ D, елемент з множини {0, 1} називається n–арним предикатом визначеним на множинi D.

Операції квантування.

F(x2, x3,...,xn) = ∀x1A(x1, x2,...,xn) арностi n − 1

1. надати вiльним змiнним x2, x3,...,xn формули F значень з множини D;

2. для обраних значень x2 := d2, x3 := d3,...,xn := dn проiнтерпретувати всi висловлювання з множини d ∈ D;

3. якщо принаймнi для одного значення d ∈ D результатом інтерпретації висловлювання A(d, d2, d3,...,dn) є 0, то висловлювання F(d2, d3,...,dn)

iнтерпретується як 0, якщо ж для всiх значень d ∈ D, результатом iнтерпретацiї висловлювання A(d, d2, d3,...,dn) є 1, то висловлювання F(d2, d3,...,dn) iнтерпретується як 1.

F(x2, x3,...,xn) = ∃x1A(x1, x2,...,xn) арностi n – 1

1. виконати пункти 1 та 2 з попереднього означення;

2. якщо принаймнi для одного значення d ∈ D результатом iнтерпретацiї

висловлювання A(d, d2, d3,...,dn) є 1, то висловлювання F(d2, d3,...,dn)

iнтерпретується як 1, якщо ж для всiх значень d ∈ D, результатом iнтерпретацiї висловлювання A(d, d2, d3,...,dn) є 0, то висловлювання F(d2, d3,...,dn) iнтерпретується як 0.

A(x1,…,xn) – атомарні формули.

Якщо F1, F2 – ф-ли обч. Предикатів, то *F1 i F1*F2-теж ф-ли предикатів.

Тот. Хиба – коли для довільн. Набору (alf1,…,alfn) –0

Формула ∀yA(x, f(x, y)) → B(x) є формулою числення предикатiв, в якiй A(x, f(x, y)) i B(x) — атомарнi формули, x, y — змiннi (x – вiльна, y — зв’язана), f — функцiональна константа.

8. Метод математичної iндукцiї. Коректнiсть методу математичної iндукцiї. Нерiвнiсть Бернуллi.

Нехай А-предикат, визначений на множині натуральних чисел N.

A(1), ∀n(A(n)→ A(n + 1)) |= ∀nA(n).

Доведення методом відсупротивного припустимо, що існує інтерпретація I=(D,Iс) таке, що при інтерпретації I мають місце рівності:

A(1)=1;

∀n(A(n)→ A(n + 1))=1;

∀nA(n)=0.

Якщо ∀nA(n)=0 , існують такі натуральні числа m, що A(m)=0. Нехай - це найменше таке число, тобто A( )=0.

Суперечність-

>1;

=0

.

Суперечність -

Нерівність Бернуллі

Для довiльного дiйсного числа x : x > −1 i довiльного натурального n має мiсце:

Iндукцiя буде вестись по n.

1)База iндукцiї: n = 1. При цьому значеннi n будемо мати ≥ 1 + 1 · x

i твердження справджується.

2)Iндукцiйний крок: Припустимо, що виконується нерiвнiсть ≥ 1 +nx.

Оскiльки, за умовою, x > −1, то знак нерiвностi не змiниться, якщо її помножити на (1 + x). Тодi отримаємо:

≥ (1 + nx)(1 + x) ≥ 1 + (n + 1)x + ≥ 1 + (n + 1)x

(тут вiдкинуто додатне число ). Оскiльки мiркування проводилися для до-

вiльного значення n, то тим самим доведено iндукцiйний крок:

∀n (( ≥ 1 + nx) → ( ≥ 1 + (n+ 1)x)).

Отже, згiдно A(1), ∀n(A(n)→ A(n + 1)) |= ∀nA(n )маємо ∀n ≥ 1 + nx.

10.Рекурентні співвідношення. Розв’язання рекурентностей. Задача про Ханойську вежу.

Числова послiдовнiсть є функцiєю натурального аргументу f : N → R

Рекурентним спiввiдношенням називається формула виду: = F( , , . . . , )

де F деяка функцiя вiд k аргументiв, яка дозволяє обчислювати наступнi члени послiдовностi через значення k попереднiх членiв. Якщо вказати першi

k члени послiдовностi , , . . . , , то рекурентне спiввiдношення однозначно визначає послiдовнiсть .

Якщо задано рекурентне спiввiдношення, то знаходження явних формул для послiдовностей, якi задовольняють цьому спiввiдношенню називають розв’язанням рекурентного спiввiдношення.

Розв’язати рекурентне співвідношення↔для довільних n знайти формулу обчислення n -го члена послідовності, в якій n-член послідовності залежить тільки від n і початкових членів.

11. Лiнiйнi рекурентнi спiввiдношення другого порядку та їх розв"язання.

Лiнiйним рекурентним спiввiдношенням другого порядку називається спiввiдношення

Послiдовностi, що задовольняють цьому спiввiдношенню називаються лiнiйними рекурентними послiдовностями другого порядку або послiдовностями типу Фiбоначчi.

Алгоритм розв’язання

Теорема Нехай задано спiввiдношення типу Фiбоначчi (2.2) i заданi початковi умови i . Тодi, якщо α i β — рiзнi коренi рiвняння

− Ax − B = 0, (2.3)

то розв’язок цього рекурентного спiввiдношення має вигляд , n≥ 2,

якщо рiвняння (2.3) має єдиний корiнь, тодi розв’язок цього рекурентного спiввiдношення має вигляд , де , — деякi коефiцiєнти, що залежать вiд початкових умов i коренiв рiвняння (2.3).

Доведення. Припустимо спочатку, що рiвняння (2.3) має рiзнi коренi. Тодi за теоремою Вiєта α + β = A i α · β = −B. Використовуючи цi рiвностi спiввiдношення (2.2) можемо переписати у виглядi

= (α + β) - α · β · - −1, n≥ 2, (2.4)

перенесемо α в лiву частину рiвностi

− = β( − α −1), n≥ 2.

Остання рiвнiсть означає, що послiдовнiсть +1 −α є геометричною прогресiєю зi знаменником β. Використовуючи формулу n+ 1–го члена геометричної прогресiї можемо записати

− α = ( − α ), n≥ 2.

Якщо ми тепер в рiвностi (2.4) перенесемо в лiву частину рiвностi β , то отримаємо

− β = α( − β ), n≥ 2,

тобто геометричною послiдовнiстю є також послiдовнiсть an+1 − β , а тому можемо записати

− β = ( − β ), n≥ 2.

Отже ми отримали такi двi рiвностi

− α = ( − α ), n≥ 2

− β = − β ), n≥ 2

виключаючи з яких i зробивши деякi перетворення можемо записати

= ,

Покладемо = I = , таким чином остаточно отримаємо формулу

= + , n≥ 2.

Нехай тепер рiвняння (2.3) має єдиний корiнь α. Тодi рiвнiсть (2.4) можна переписати у виглядi

− α = ( − α ), n≥ 2

Оскiльки це спiввiдношення справедливе для будь-якого n, то можемо його записати i для

= α + ( − α ), n≥ 2.

Замiнимо в попереднiй рiвностi на отриманий вираз

= α(α + ( − α ))+ ( − α ) = +2 ( − α ), n≥ 2.

Тепер виразимо −1 через −2 i пiдставимо в формулу i т.д. Повторюючи аналогiчну операцiю декiлька раз врештi отримаємо формулу

= + n ( − α ), n≥ 2.

Таким чином, ввiвши , , запишемо потрiбну формулу

= ( + n ), n≥ 2.

Ханойська вежа

Припустимо

К-ть кроків потрібних,щоб перекл. n-1 Тоді ,

База індукції: –виконується.

Індукційний крок: Припуст., що

Тоді за припущенням індукції = 2(

12.Основні поняття теорії множини.

Поняття множини відноситься до фундаментальних невизначених понять математики

Множина - однозначно визначена сукупність елементів довільної природи.

Для множини — А, В, С, D, для елементів - a, b, c, d

Порожня - множина, що не містить жодного елем. Для будь-якої множини є її підмножиною.

, якщо кожен елемент з А лежить в В . А = В, коли і

Парадокс Рассела.

Розіб'ємо всі множини на два класи

1. Які не є елементами самих себе, тобто .

2. Які є елементами самих себе, тобто .

Будь-яка множина відноситься або до першого, або до другого класу. Розглянемо множину М всіх множин з першого класу. До якого з двох класів належить М ? Припустимо, що до першого, тоді M , але ж за означенням елементами М є всі множини з першого класу, отже, М належить другому класу. Тоді , але множина М складається тільки з множин першого класу, отже, М належить першому класу.

На початку 20-го сторіччя цей парадокс викликав сумніви у самих основах математики. Причиною виникнення цього парадокса є те, що наївне означення дозволяє оперувати з елементами довільної (невизначеної) природи.

Одним із шляхів подолання парадоксу є так звана теорія типів.

1) елементам (об'єктам) приписується тип 0;

2) множинам, елементами яких є елементи типу 0, приписується тип 1;

3) множинам елементами яких є множини 1-го типу приписується тип 2;

4) множинам, елементами яких є множини типу к приписується тип к + 1, к =1,2,3,....

На хлопський розум цей парадокс описується так: "В деякому місті живе брадобрей (той, що бриє людей). Він бриє усіх, хто не бриється сам. Парадокс: хто бриє його?!"

13.Операції над множинами.

· Об’єднання множин

· Перетин множин

· Різниця множин

· Доповнення множини

· Симетрична різниця множин

Властивості

· Ідемпотентність

· Комутативність

Асоціативність ;

Дистрибутивність

Доповнювнення ;

Правило де Моргана

Доведемо перший закон дистрибутивностi.

Спочатку доведемо включення:

A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Для цього доведемо iмплiкацiю: x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Якщо x ∈ A ∪ (B ∩ C), то можливi випадки:

1) x ∈ A;

2) x ∈ B ∩ C

У випадку 1) маємо: x ∈ A ⇒ (x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∪ C) ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

У випадку 2) отримуємо: x ∈ B∩C ⇒ (x ∈ B)∧(x ∈ C) ⇒ (x ∈ A∪B)∧(x ∈ A∪C) ⇒ x ∈ (A∪B)∩(A∪C)

Доведемо тепер протилежне включення: A ∪ (B ∩ C) ⊇ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⇒ (x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∪ C). Можливi випадки:

a) x ∈ A;

b) (x A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)

У випадку a) отримуємо: x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ (B ∪ C).

У випадку b): (x ∈ B) ∧ (x ∈ C) ⇒ x ∈ B ∩ C ⇒ x ∈ A ∪ (B ∩ C). Цим доведено протилежне включення, а отже i рiвнiсть множин.

Як вiдомо, числа можнадодавати i множити в довiльнiй кiлькостi. Якщо A = {a1, a2,...,an} ⊂ R− n− елементна(скiнченна) пiдмножинадiйсних чисел, то завдяки властивостям комутативностi та ассоцiативностi, однозначно визначенi їх сума та добуток:
Оскiльки цi закони мають мiсце i в теорiй множин, то для довiльної скiнчен- ної сукупностi множин A1, A2,...,An можнавизначити множини:

Якщо замiсть скiнченної множини чисел ми маємо справу з нескiнченною послiдовнiстю: a1, a2, a3,...,an,..., ..., то вирази

називають числовим рядом та нескiнченним добутком. Числове значення цих виразiв, взагалi кажучи, не визначенi i потребують поняття границi. Прикладом нескiнченного ряду, для якого значення суми визначено, є сума спадної геоме- тричної прогресiї. Навiдмiну вiд чисел, легко визначити об’єднання i перетин нескiнченної послiдовностi множин:

Взагалi визначеними є об’єднання i перетин довiльної сукупностi множин. Припустимо, що I довiльна множинаi i ∈ I – довiльна сукупнiсть множин (можна сказати, що i− "номер"множини ), тодi

Узагальненi закони дистрибутивностi

Узагальненi закони де Моргано

Доведення першого закону де Моргано.


7700730503330146.html
7700810336106104.html
    PR.RU™